Сопротивление воздуха от скорости

Сопротивление воздуха

Юлиюс Мацкерле (Julius Mackerle)
Источник: «Современный экономичный автомобиль»
503955

На расход топлива, в особенности при больших скоростях движения, значительное влияние оказывает сопротивление воздуха (аэродинамическое сопротивление), сила аэродинамического сопротивления пропорциональна квадрату скорости и рассчитывается по формуле

Pv = cx·S·v2·ρ/2,

где S – площадь фронтальной проекции автомобиля, м2; v – скорость движения автомобиля относительно воздуха, м/с; ρ – плотность воздуха, кг/м3; cх – коэффициент аэродинамического сопротивления.

Аэродинамическое сопротивление не зависит от массы автомобиля . Площадь фронтальной проекции автомобиля определяется формой кузова и требованиям по обеспечению комфортного расположения водителя и пассажиров на сиденьях. Например, автомобиль большого класса может быть ниже, чем малого, так как сиденья у него зачастую располагаются ниже. У автомобиля малого класса из-за его небольшой массы и длины сиденья расположены выше над полом, и поэтому расстояние между передними и задними сиденьями меньше. Более прямое расположение водителя и пассажиров в автомобиле малого класса требует его большей высоты, но меньшей длины. Площади фронтальных проекций обоих автомобилей при этом почти одинаковы, но низкий и длинный кузов автомобиля большого класса аэродинамически более выгоден.

Мощность двигателя, необходимая для преодоления аэродинамического сопротивления, пропорциональна, следовательно, кубу скорости:

Nv = Pv·v/3600 (кВт),

где v — относительная скорость движения автомобиля, км/ч.

Коэффициент аэродинамического сопротивления, как видно из таблицы, представленной ниже, изменяется в широком диапазоне в зависимости от формы кузова автомобиля.

Аэродинамическое сопротивление различных автомобилей

Кузов автомобиля	Коэффициент сопротивления воздуха cx	Мощность, необходимая для преодоления аэродинамического сопротивления (кВт), при площади фронтальной проекции 2 м2 и скорости
		40 км/ч	80 км/ч	120 км/ч
Открытый четырёхместный	0,7 – 0,9	1,18 – 1,47	9,6 – 11,8	31,0 – 40,5
Закрытый, с наличием углов и граней	0,6 – 0,7	0,96 – 1,18	8,0 – 9,6	26,4 – 30,8
Закрытый, с закруглением углов и граней	0,5 – 0,6	0,80 – 0,96	6,6 – 8,0	22,0 – 26,4
Закрытый понтонообразный	0,4 – 0,5	0,66 – 0,80	5,2 – 6,6	17,6 – 22,0
Закрытый, хорошо обтекаемый	0,3 – 0,4	0,52 – 0,66	3,7 – 5,2	13,2 – 17,6
Закрытый, аэродинамически совершенный	0,20 – 0,25	0,33 – 0,44	2,6 – 3,3	9,8 – 11,0
Грузовой автомобиль	0,8 – 1,5	–	–	–
Автобус	0,6 – 0,7	–	–	–
Автобус с хорошо обтекаемым кузовом	0,3 – 0,4	–	–	–
Мотоцикл	0,6 – 0,7	–	–	–

Коэффициент аэродинамического сопротивления устанавливается продувкой автомобиля или его макета в аэродинамической трубе или приближенно в ходе эксплуатационных испытаний. При испытаниях в аэродинамической трубе на макетах получаются менее точные значения, чем при тех же испытаниях на реальных автомобилях. Это вызвано тем, что на изменение сопротивления воздуха оказывают влияние неточности изготовления некоторых узлов и деталей автомобиля: ручек дверей, днища кузова, бамперов, зеркал заднего вида и т. д. Кроме того, значительное влияние на величину сх оказывает воздух, проходящий в кузов для охлаждения и вентиляции.

При больших скоростях движения автомобиля аэродинамическое сопротивление является преобладающим.

На рисунке ниже показано изменение мощностей, необходимых для преодоления сопротивления качению Nf и аэродинамического сопротивления Nv в зависимости от скорости v для автомобиля среднего класса. При скорости 60 км/ч мощности, необходимые для преодоления сопротивления качению и сопротивления воздуха, равны, что характерно для данного вида автомобилей. По сумме потребляемых мощностей можно убедиться в важности сопротивления воздуха. При скорости 80 км/ч мощность, затрачиваемая на его преодоление, в 4 раза больше, чем при скорости 40 км/ч, а при скорости выше, чем 120 км/ч, общая мощность, необходимая для движения, растет почти пропорционально кубу скорости автомобиля.

Мощность, затрачиваемая на преодоление сопротивлений движению

Масса автомобиля 1350 кг, площадь фронтальной проекции S автомобиля 2 м2; коэффициент сопротивления качению f равен 0,015; коэффициент аэродинамического сопротивления сх равен 0,456.

При определении мощности двигателя, необходимой для достижения максимальной скорости, большей той, которую обеспечивает номинальная мощность установленного на автомобиле двигателя, можно использовать без значительной ошибки следующее соотношение:

N2 = N1·(v2/v1)3,

где N2 – требуемая мощность, кВт; N1 – достигнутая максимальная мощность, кВт; v2 – требуемая скорость, км/ч; v1 – достигнутая максимальная скорость, км/ч.

Через точку X – максимальная мощность N1 при максимальной скорости v1 – проведена кривая зависимости мощности от куба скорости. Разница между этой кривой и линией мощности, требуемой для движения при максимальной скорости, незначительна.

Показанная сумма мощностей сопротивления качению Nf и аэродинамического сопротивления Nv представляет собой мощность сопротивления равномерному движению автомобиля по горизонтальному участку дороги при безветрии.

Последнее обновление 02.03.2012
Опубликовано 16.03.2011

Лобовое сопротивление

Для термина «Сопротивление» см. также другие значения. Четыре силы, действующие на самолёт

Лобовое сопротивление — сила, препятствующая движению тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление складывается из двух типов сил: сил касательного (тангенциального) трения, направленных вдоль поверхности тела, и сил давления, направленных по нормали к поверхности. Сила сопротивления является диссипативной силой и всегда направлена против вектора скорости тела в среде. Наряду с подъёмной силой является составляющей полной аэродинамической силы.

Сила лобового сопротивления обычно представляется в виде суммы двух составляющих: сопротивления при нулевой подъёмной силе и индуктивного сопротивления. Каждая составляющая характеризуется своим собственным безразмерным коэффициентом сопротивления и определённой зависимостью от скорости движения.

Лобовое сопротивление может способствовать как обледенению летательных аппаратов (при низких температурах воздуха), так и вызывать нагревание лобовых поверхностей ЛА при сверхзвуковых скоростях ударной ионизацией.

Траектории трёх объектов (угол запуска — 70°, Distance — расстояние, Height — высота). Чёрный объект не испытывает никакого сопротивления и движется по параболе, на голубой объект действует закон Стокса, на зелёный объект — закон вязкости Ньютона

Поток и форма препятствия	Сопротивление формы	Влияние вязкости на трение
	0%	~100 %
	~10%	~90 %
	~90%	~10 %
	100%	0%

Сопротивление при нулевой подъёмной силе

Эта составляющая сопротивления не зависит от величины создаваемой подъёмной силы и складывается из профильного сопротивления крыла, сопротивления элементов конструкции самолёта, не вносящих вклад в подъёмную силу, и волнового сопротивления. Последнее является существенным при движении с около- и сверхзвуковой скоростью, и вызвано образованием ударной волны, уносящей значительную долю энергии движения. Волновое сопротивление возникает при достижении самолётом скорости, соответствующей критическому числу Маха, когда часть потока, обтекающего крыло самолёта, приобретает сверхзвуковую скорость. Критическое число М тем больше, чем больше угол стреловидности крыла, чем более заострена передняя кромка крыла и чем оно тоньше.

Сила сопротивления направлена против скорости движения, её величина пропорциональна характерной площади S, плотности среды ρ и квадрату скорости V:

X 0 = C x 0 ρ V 2 2 S {\displaystyle X_{0}=C_{x0}{\frac {\rho V^{2}}{2}}S} C x 0 {\displaystyle C_{x0}} — безразмерный аэродинамический коэффициент сопротивления, получается из критериев подобия, например, чисел Рейнольдса и Фруда в аэродинамике.

Определение характерной площади зависит от формы тела:

• в простейшем случае (шар) — площадь поперечного сечения;
• для крыльев и оперения — площадь крыла/оперения в плане;
• для пропеллеров и несущих винтов вертолётов — либо площадь лопастей, либо ометаемая площадь винта;
• для подводных объектов обтекаемой формы — площадь смачиваемой поверхности;
• для продолговатых тел вращения, ориентированных вдоль потока (фюзеляж, оболочка дирижабля) — приведённая волюметрическая площадь, равная V2/3, где V — объём тела.

Мощность, требуемая для преодоления данной составляющей силы лобового сопротивления, пропорциональна кубу скорости ( P = X 0 ⋅ V = C x 0 ρ V 3 2 S {\displaystyle P=X_{0}\cdot V=C_{x0}{\dfrac {\rho V^{3}}{2}}S} ).

Индуктивное сопротивление в аэродинамике

Индуктивное сопротивление (англ. lift-induced drag) — это следствие образования подъёмной силы на крыле конечного размаха. Несимметричное обтекание крыла приводит к тому, что поток воздуха сбегает с крыла под углом к набегающему на крыло потоку (т. н. скос потока). Таким образом, во время движения крыла происходит постоянное ускорение массы набегающего воздуха в направлении, перпендикулярном направлению полёта, и направленном вниз. Это ускорение, во-первых, сопровождается образованием подъёмной силы, а во-вторых — приводит к необходимости сообщать ускоряющемуся потоку кинетическую энергию. Количество кинетической энергии, необходимое для сообщения потоку скорости, перпендикулярной направлению полёта, и будет определять величину индуктивного сопротивления. На величину индуктивного сопротивления оказывает влияние не только величина подъёмной силы (так, в случае отрицательной работы подъёмной силы направление вектора индуктивного сопротивления противоположно вектору силы, обусловленной тангенсальным трением), но и её распределение по размаху крыла. Минимальное значение индуктивного сопротивления достигается при эллиптическом распределении подъёмной силы по размаху. При проектировании крыла этого добиваются следующими методами:

• выбором рациональной формы крыла в плане;
• применением геометрической и аэродинамической крутки;
• установкой вспомогательных поверхностей — вертикальных законцовок крыла.

Индуктивное сопротивление пропорционально квадрату подъёмной силы Y, и обратно пропорционально площади крыла S, его удлинению λ {\displaystyle \lambda } , плотности среды ρ и квадрату скорости V:

X i = C x i ρ V 2 2 S = C y 2 π λ ρ V 2 2 S = 1 π λ Y 2 ρ V 2 2 S {\displaystyle X_{i}=C_{xi}{\frac {\rho V^{2}}{2}}S={\frac {C_{y}^{2}}{\pi \lambda }}{\frac {\rho V^{2}}{2}}S={\frac {1}{\pi \lambda }}{\frac {Y^{2}}{{\frac {\rho V^{2}}{2}}S}}}

Таким образом, индуктивное сопротивление вносит существенный вклад при полёте на малой скорости (и, как следствие, на больших углах атаки). Оно также увеличивается при увеличении веса самолёта.

Суммарное сопротивление

Является суммой всех видов сил сопротивления:

X = X 0 + X i {\displaystyle X=X_{0}+X_{i}}

Так как сопротивление при нулевой подъёмной силе X 0 {\displaystyle X_{0}} пропорционально квадрату скорости, а индуктивное X i {\displaystyle X_{i}} — обратно пропорционально квадрату скорости, то они вносят разный вклад при разных скоростях. С ростом скорости X 0 {\displaystyle X_{0}} растёт, а X i {\displaystyle X_{i}} — падает, и график зависимости суммарного сопротивления X {\displaystyle X} от скорости («кривая потребной тяги») имеет минимум в точке пересечения кривых X 0 {\displaystyle X_{0}} и X i {\displaystyle X_{i}} , при которой обе силы сопротивления равны по величине. При этой скорости самолёт обладает наименьшим сопротивлением при заданной подъёмной силе (равной весу), а значит, наивысшим аэродинамическим качеством.

Мощность, требуемая для преодоления силы паразитного сопротивления, пропорциональна кубу скорости, а мощность, требуемая для преодоления индуктивного сопротивления, обратно пропорциональна скорости, поэтому суммарная мощность тоже имеет нелинейную зависимость от скорости. При некоторой скорости мощность (а значит, и расход топлива) становится минимальной — это скорость наибольшей продолжительности полёта (барражирования). Скорость, при которой достигается минимум отношения мощности (расхода топлива) к скорости полёта, является скоростью максимальной дальности полёта или крейсерской скоростью.

> См. также Сопротивление воздуха

• Эффект Бартини
• Парадокс Даламбера
• Закон Стокса
• Коэффициент аэродинамического сопротивления автомобиля

> Литература

• Юрьев Б. Н. Экспериментальная аэродинамика. Часть II Индуктивное сопротивление, НКОП СССР, 1938, 275 с.

Ссылки

• Аэродинамическое сопротивление — статья из Большой советской энциклопедии.
• Аэродинамическое сопротивление — статья из Физической энциклопедии

Силы, действующие на самолёт

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

Как строить аэродинамическую тень

На улице с высотками всегда гуляют сквозняки, это и есть явление аэродинамики. И в этой вихревой среде есть участки, где воздух стоит без движения, своего рода «воздушные карманы». Это явление называется аэродинамическая тень.

Теоретическое обоснование аэродинамической тени

Существуют определенные границы распространения аэродинамической тени для отдельно стоящего здания с узким фасадом, с широким фасадом и для группы зданий (объектов), расположенных последовательно. Это очень важно знать для расчета высоты трубы принудительной вентиляции или даже камина.

В застойной зоне воздух не перемешивается, соответственно тяги в трубе не будет, а может произойти обратный эффект, когда дым и уличный воздух пойдут по системе вентиляции внутрь здания.

Правила построения аэродинамической тени

Кроме высоты здания, большое значение имеет сила и направление ветра. Поскольку аэродинамическая тень возникает только возле заветренной стены здания. Существуют формулы вычисляющие точки максимальной концентрации тени и отдельно с заветренной стороны, для одной трубы или вентиляционного выхода.

В определенных случаях, если есть построение аэродинамической тени для высот 4 и 8 метров, то для высоты 6 метров получить необходимые данные и построить аэродинамическую тень можно методом интерполяции (вычисление промежуточных значений по известным).

Используя разработанные методики, можно понять, как строить и находить границы аэродинамической тени. Это дает возможность найти полностью затененные участки крыши, на которых размещение дымоходов и вентканалов нецелесообразно. Существуют источники, в которых рассматривается зависимость концентрации вредных веществ в воздухе от нахождения в границах аэродинамической тени.

Формат данной популярной статьи не позволяет привести научные выкладки.

Влияние аэродинамической тени на вредные выбросы в атмосферу

По высоте, даже при различных скоростях набегающего потока воздуха, границы аэродинамической тени не превышают объект, а вот по протяженности за зданием есть существенные различия, зависящие от конфигурации здания.

При неправильном построении границ зоны тени выброс вредных веществ в притеневое пространство может значительно превышать допустимые пределы загрязнений.

В случае, если дымовая труба выведена за пределы границ теневой аэродинамической зоны, концентрация загрязняющих веществ в окружающей атмосфере снижается в 6 и более раз.

Для частного строительства при выводе дымовых труб на крышу необходимо учитывать перепады высоты собственного строения (крыша на разных уровнях), а также высоту соседних строений и расстояние от них.

Что такое скоростной напор?формула?в чем отличие скоростного напора и кинетической энерии?

Температура. определение.тем К и С. 0 по К и 0 по С.

Температура воздухахарактеризует степень его нагретости. Благодаря движению молекул воздуха возникает тепловая энергия. Чем больше скорость движения молекул в воздухе, тем выше его температура.

По шкале Цельсия нуль градусов соответствует постоянной точке плавления льда, а 100 градусов – постоянной точке кипения воды. Нуль градусов шкалы Кельвина характеризует самую низкую температуру, которую вообще можно получить. Она равна минус 273˚С. При этой температуре прекращается всякое движение молекул. Шкала Кельвина не имеет отрицательных температур, причем цена деления 1К соответствует 1˚С. Соотношение температур по шкалам, определяется по формуле: Т = (t˚C + 273,16)К

Что такое МСА. для чего принята и какие основные параметры учтены при составлении?

Международная стандартная атмосфера – это принятая всеми странами мира таблица изменений основных параметров воздуха при изменении высоты полета.

При составлении МСА за основу приняты среднегодовые условия на средних широтах. Нулевой высотой считается средний уровень мирового океана (уровень моря Н = 0 м). На уровне моря при относительной влажности 0% приняты следующие значения основных параметров воздуха:

— атмосферное давление равно 760 мм рт. ст. (1013.25 гПа);

— температура t˚ = +15˚С (То = 288,15˚ К);

Согласно МСА температура воздуха до высоты 11км (граница тропосферы) понижается на 6,5˚С на каждый километр подъема. Выше 11км – температура воздуха считается постоянной и равной минус 56,5˚С, а ее вертикальный градиент равен 0˚.

Международная стандартная атмосфера (МСА) используется при градуировании пилотажно-навигационных и других приборов, инженерных расчетах и для приведения полученных данных летных испытаний самолетов к стандартным условиям.

Определение воздушного потока и элементарной струйки. установившийся ВП.виды потоков

Воздушный поток – это масса воздуха движущаяся относительно рассматриваемого тела. Такое определение ВП предлагает, что движение воздуха и тела рассматривается независимо от того движется поток относительно тела или тело относительно потока.

Установившемся ВП, наз-ся такое течение воздуха при кот-ом скорость потока, а также давление, т-ра и плотность любой точки не изменяются с течением времени, если же эти величины изменяются, то поток не установившейся.

Элементарная струйка – мысленно выделенный небольшой замкнутый контур в виде трубки в потоке через боковую поверхность, которого воздух протекать не может не во внутрь не наружу.

Что такое пограничный слой? причина его возникновения? какие виды течения в нем набюдаются?

Пограничный слой – это слой воздуха в котором скорость воздуха изменяется от 0 до скорости воздушного потока.

ПС образуется за счет сил вязкости. Толщина ПС зависит от вязкости и давления воздуха, от профиля тела состоянии его поверхности и положении тела в ВП. Толщина ПС увеличивается от передней к задней кромки. ПС разделяют на ламинарный и турбулентный.

В ламинарном ПС проявляются только силы трения обусловленные вязкостью, поэтому сопротивление в нем мало. В турбулентном ПС наблюдается непрерывное перемещение струек воздуха во всех направлениях, что требует большого количества энергии и создает больше по величине сопротивление. При обтекании тела в определенной точке происходит переход пограничного слоя из ламинарного в турбулентый. Эта точка наз-ся точкой перехода. При создании крыльев конструкторы стремятся отнести эту точку как можно дальше от передней кромки, для уменьшения сопротивления трения.

Основной вывод первого закона аэродинамики, закон Эйлера? какой закон природы лежит в его основе?

В установившемся потоке газа через любое сечение трубы переменного сечения за единицу времени проходит одна и та же масса воздуха. Из этого следует что в установившемся потоке невозможно существование разрывов иначе расход газа равен 0. Сужение струи ( S сечение) сопровождается увеличения скорости течения газа (Нпр, пожарный шланг), а расширение струи к уменьшению скорости. pV1S1=pV2S2

Какие выводы сделаны из второго закона аэродинамики, закон Бернулли?какой закон природы лежит в его основе?

Это уравнение устанавливает связь между скоростью движения воздуха и давлением в струе и для любого сечения потока газа пишется так:

pv²/2 + P = const.

Иначе говоря, сумма скоростного напора (pv²/2) и статического давления (P) в потоке есть величина постоянная.

Из формулы следует что, чем больше скорость движения воздуха, тем меньше статическое давление и наоборот.

Уравнение Бернулли используются для объяснения образования подъемной силы при расчетах измерителей высоты, скорости полета, при расчетах торможения газового потока, то есть когда необходимо определить связь между давлением, плотностью, скоростью разных сечениях струйку установившейся в возд. Потока.

что такое скоростной напор?формула?в чем отличие скоростного напора и кинетической энерии?

Скоростной напор – это давление струи воздуха на поверхность перпендикулярную линии потоков.

q=p(плотность)V(в квадрате)/2

Екинетическая=масса V(в квадрате)/2

Закон Бернулли

Рисунок из «Гидродинамики» Д. Бернулли: из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Основные уравнения

Известные учёные

Ньютон · Гук
Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Эта статья об уравнении Бернулли в гидродинамике; о дифференциальном уравнении Бернулли см. Дифференциальное уравнение Бернулли.

Закон Бернулли (также уравнение Бернулли, теорема Бернулли или интеграл Бернулли) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости возрастает, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости (то есть без вязкости и теплопроводности).

История

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году.

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости

Полное давление

Размерность

L − 1 M T − 2 {\displaystyle L^{-1}MT^{-2}}

Единицы измерения

СИ

Дж/м3 = Па

СГС

эрг/см3

Примечания

Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости.

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина ρ v 2 / 2 + ρ g h + p {\displaystyle \rho v^{2}/2+\rho gh+p} сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

ρ v 2 2 + ρ g h + p = const . {\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.}

Здесь

ρ {\displaystyle \rho } — плотность жидкости; v {\displaystyle v} — скорость потока; h {\displaystyle h} — высота; p {\displaystyle p} — давление; g {\displaystyle g} — ускорение свободного падения. Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями A 1 {\displaystyle A_{1}} и A 2 {\displaystyle A_{2}} , действует сила F 1 = p 1 A 1 {\displaystyle F_{1}=p_{1}A_{1}} , а справа — противоположного направления сила F 2 = − p 2 A 2 {\displaystyle F_{2}=-p_{2}A_{2}} . Скорость v {\displaystyle v} и давление p {\displaystyle p} в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время Δ t {\displaystyle \Delta t} левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние s 1 = v 1 Δ t {\displaystyle s_{1}=v_{1}\Delta t} , а правая — на расстояние s 2 = v 2 Δ t {\displaystyle s_{2}=v_{2}\Delta t} . Работа, совершённая силами давления, равна:

W = F 1 s 1 + F 2 s 2 = Δ t ( v 1 A 1 p 1 − v 2 A 2 p 2 ) . {\displaystyle W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2}p_{2}\right).}

В начале интервала времени Δ t {\displaystyle \Delta t} объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями A 1 {\displaystyle A_{1}} и A 2 {\displaystyle A_{2}} , состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: Δ m = Δ t v 1 A 1 ρ 1 = Δ t v 2 A 2 ρ 2 . {\displaystyle \Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.} Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: Δ W = Δ m ( p 1 ρ 1 − p 2 ρ 2 ) , {\displaystyle \Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right),} равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента Δ E 2 {\displaystyle \Delta E_{2}} и левого голубого элемента Δ E 1 {\displaystyle \Delta E_{1}} .

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить ρ 1 = ρ 2 = ρ {\displaystyle \rho _{1}=\rho _{2}=\rho } и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: Δ E 1 = Δ m ( v 1 2 2 + g h 1 ) , {\displaystyle \Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),} Δ E 2 = Δ m ( v 2 2 2 + g h 2 ) . {\displaystyle \Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).} После этого равенство Δ W = Δ E 2 − Δ E 1 {\displaystyle \Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}} даёт: p 1 + ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 = p 2 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2 {\displaystyle p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}} , или p + ρ g h + ρ v 2 2 = c o n s t {\displaystyle p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}} .

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением. Могут также использоваться термины «весовое давление» ρ g h {\displaystyle \rho gh} , «статическое давление» p {\displaystyle p} и «динамическое давление» ρ v 2 / 2 {\displaystyle \rho v^{2}/2} . По словам Д. В. Сивухина, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

Основная статья: Формула ТорричеллиИллюстрация формулы Торричелли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

ρ g h + p 0 = ρ v 2 2 + p 0 , {\displaystyle \rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},}

где

h {\displaystyle h} — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия, v {\displaystyle v} — скорость истечения жидкости, p 0 {\displaystyle p_{0}} — атмосферное давление.

Отсюда: v = 2 g h {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}} . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h {\displaystyle h} . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде.

Другие проявления и применения закона Бернулли

Закон Бернулли объясняет эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука.

Основная статья: Эффект Вентури

Вдоль горизонтальной трубы координата z {\displaystyle z} постоянна и уравнение Бернулли принимает вид ρ v 2 2 + p = const {\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}} . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насоса.

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»).

Применение в гидравлике

Основные статьи: Гидравлика, Гидравлические потери и Напор

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» ρ g {\displaystyle \rho g} :

H = h + p ρ g + v 2 2 g = const , {\displaystyle H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}},}

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор

Размерность

L {\displaystyle L}

Единицы измерения

СИ

метр

Примечания

Полное давление, делённое на удельный вес.

H {\displaystyle H} — гидравлическая высота или напор, h {\displaystyle h} — нивелирная высота, p ρ g {\displaystyle {\frac {p}{\rho g}}} — пьезометрическая высота или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор, v 2 2 g {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}} — скоростная высота или скоростной напор.

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора».

Интеграл Бернулли в баротропных течениях

Основная статья: Баротропность

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: ρ = ρ ( p ) {\displaystyle \rho =\rho (p)} , что позволяет ввести функцию давления P = ∫ d p ρ ( p ) . {\displaystyle {\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}.} В этих предположениях величина

v 2 2 + g h + P = const {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}}

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом g h {\displaystyle gh} заменяется на потенциал массовой силы φ {\displaystyle \varphi } .

Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения

Уравнение Громеки — Лэмба (квадратные скобки обозначают векторное произведение) имеет вид:

∂ v → ∂ t + grad ⁡ ( v 2 2 ) + = − 1 ρ grad ⁡ p + F → {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+\left=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\vec {F}}}

В силу сделанных предположений ∂ v → ∂ t = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=0,} grad ⁡ p ρ = grad ⁡ P {\displaystyle {\frac {\operatorname {grad} p}{\rho }}=\operatorname {grad} {\cal {P}}} и F → = − grad ⁡ φ {\displaystyle {\vec {F}}=-\operatorname {grad} \varphi } (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен φ = g h {\displaystyle \varphi =g\,h} ), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:

grad ⁡ ( v 2 2 + φ + P ) + = 0 {\displaystyle \operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left=0}

Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор l → = v → v , {\displaystyle {\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},} касательный к линии тока, даёт:

∂ ∂ l ( v 2 2 + φ + P ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0}

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ∂ ∂ l {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}} , а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока v 2 2 + φ + P = c o n s t . {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .} Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по r o t v → . {\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {v}}.}

Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости v → = grad ⁡ ψ {\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} \psi } , интеграл Бернулли в виде ∂ ψ ∂ t + ( grad ⁡ ψ ) 2 2 + g h + P = c o n s t {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const} } сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения.

Формула Сен-Венана — Ванцеля

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон

p = p 0 ρ 0 γ ρ γ , ρ = ρ 0 p 0 1 / γ p 1 / γ , P = − γ γ − 1 p 0 ρ 0 , {\displaystyle p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0}}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left,}

то уравнение Бернулли выражается так (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

v 2 2 − γ γ − 1 p 0 ρ 0 = c o n s t {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left=\mathrm {const} } вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь γ = C p C V {\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}} — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме, p , ρ {\displaystyle p,\ \rho } — давление и плотность газа, p 0 , ρ 0 {\displaystyle p_{0},\ \rho _{0}} — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за p 0 , ρ 0 , {\displaystyle p_{0},\ \rho _{0},} тогда скорость истечения выражается через внешнее давление p {\displaystyle p} по формуле Сен-Венана — Ванцеля:

v 2 = 2 γ γ − 1 p 0 ρ 0 . {\displaystyle v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left.}

Термодинамика закона Бернулли

Основная статья: Энтальпия

Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

v 2 2 + w + φ = const , s = const , {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}},\quad s={\text{const}},}

где w {\displaystyle w} — энтальпия единицы массы, φ {\displaystyle \varphi } — гравитационный потенциал (равный g z {\displaystyle gz} для однородной силы тяжести), s {\displaystyle s} — энтропия единицы массы.

Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений

1. Уравнение Эйлера для стационарного ( ∂ v → / ∂ t = 0 {\displaystyle \partial {\vec {v}}/\partial t=0} ) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести имеет вид

( v → ⋅ ∇ ) v → = − 1 ρ ∇ p + g → , {\displaystyle ({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g}},}

где ускорение силы тяжести можно выразить через гравитационный потенциал g → = − ∇ φ {\displaystyle {\vec {g}}=-\nabla \varphi } (для однородного поля φ = g h {\displaystyle \varphi =gh} ), точка между векторами в круглых скобках означает их скалярное произведение.

2. Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор l → = v → v , {\displaystyle {\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},} касательный к линии тока даёт

∂ ∂ l ( v 2 2 + φ ) = − 1 ρ ∂ p ∂ l , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}},}

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ∂ ∂ l . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}.}

3. Термодинамическое дифференциальное соотношение

d w = 1 ρ d p + T d s , {\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,}

где w {\displaystyle w} — энтальпии единицы массы, T {\displaystyle T} — температура и s {\displaystyle s} — энтропия единицы массы, даёт

∂ w ∂ l = 1 ρ ∂ p ∂ l + T ∂ s ∂ l , {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial l}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}}+T{\frac {\partial s}{\partial l}},\quad } так что ∂ ∂ l ( v 2 2 + w + φ ) = T ∂ s ∂ l . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s}{\partial l}}.}

В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию ( ∂ s / ∂ l = 0 {\displaystyle \partial s/\partial l=0} ), поэтому вдоль линии тока:

s = const , v 2 2 + w + φ = const . {\displaystyle s={\text{const}},\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.}

Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбин. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющих удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс) и например давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежат на некоторой вертикальной линии ( s = const {\displaystyle s={\text{const}}} ). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующего начальному и конечному давлению теплоносителя, равен половине изменения квадрата скорости.

Обобщения интеграла Бернулли

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света c {\displaystyle c} , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных удельной энтальпии и удельной энтропии.

1. В записи Д.Бернулли в явном виде не фигурировало внутреннее давление в жидкости.
2. «… обедняет содержание теоремы Бернулли … Интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит от уравнения энергии, хотя действительно совпадает с ним для изоэнтропического и адиабатического движения совершенного газа».
3. «Два … пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. При энергетическом выводе нет необходимости в предположении об изэнтропичности течения. При интегрировании уравнения движения интегралы Бернулли получаются не только вдоль линий тока, но и вдоль вихревых линий».
4. В русскоязычной литературе интеграл Бернулли для потенциальных течений несжимаемой или баротропной жидкости известен как интеграл Коши — Лагранжа

Примечания

1. 1 2 Ландсберг Г. С. Закон Бернулли, 1985.
2. 1 2 3 4 Вишневецкий С. Л. Бернулли уравнение, 1988.
3. Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика, 1933.
4. 1 2 3 4 5 Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24. Теорема Бернулли.
5. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика, 1964.
6. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970.
7. Чёрный Г. Г. Газовая динамика, 1988.
8. Трусделл К. Очерки по истории механики, 2002.
9. Михайлов Г. К., 1999, с. 17.
10. Darrigol O. A history of hydrodynamics, 2005, с. 9.
11. Трусделл К. Очерки по истории механики, 2002, с. 255, 257.
12. Euler L. Continuation des recherches, 1755 (1757), с. 331.
13. 1 2 Сивухин Д. В. Механика, 1989, §94. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
14. Чугаев Р. Р. Гидравлика. — Л.: Энергия, 1975. — 600 с.
15. Сивухин Д. В. Механика, 1989, §95. Примеры на применение уравнения Бернулли. Формула Торричелли.
16. Сивухин Д. В. Механика, 1989, §94, формула (94.6).
17. Молоканов Ю. К. Процессы и аппараты нефтегазопереработки. — М.: Химия, 1980. — С. 60. — 408 с.
18. Я. И. Перельман. Отчего притягиваются корабли?. Дата обращения 27 декабря 2018.
19. 1 2 3 4 5 Напор, 1992.
20. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, 1973, Примечание Г. Ю. Степанова, с. 208.
21. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред, 2000, с. 104.
22. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §23, уравнение (9).
23. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §23, уравнение (7).
24. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970, Глава VIII. §2, уравнение (2.1).
25. 1 2 Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §42. Интеграл Лагранжа — Коши.
26. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (29).
27. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (30).
28. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, 2003, §24, уравнение (31).
29. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, Уравнение (2.4).
30. Седов Л. И. Механика сплошной среды, 1970, Глава VII. §2. Функция давления.
31. Поль Р. В., Механика, акустика и учение о теплоте, 2013, с. 446.
32. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, §85.
33. Голубкин В. Н., Сизых Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Известия АН СССР, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1987. — № 3. — С. 176–178. — DOI:10.1007/BF01051932.
34. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматлит, 1962. — С. 54. — 248 с.
35. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика / Пер. с англ. под ред. В. В. Гогосова. — М.: Мир, 1989. — С. 136. — 359 с. — ISBN 5-03-000997-3.
36. Зубарев Д. Н., Релятивистская термодинамика, 1994.
37. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика, 2001, Уравнение (134.11).

Литература

• Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. под ред. Г. Ю. Степанова. — М.: Мир, 1973. — 760 с.
• Вишневецкий С. Л. Бернулли уравнение // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова-Бома эффект — Длинные линии. — С. 187. — 704 с.
• Гольдштейн Р. В., Городцов В. А. Механика сплошных сред. Часть 1. — М.: Физматлит, 2000. — 256 с. — ISBN 5-02-015555-1.
• Зубарев, Д. Н. Релятивистская термодинамика // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4: Пойнтинга-Робертсона эффект — Стримеры. — С. 333—334. — 704 с. — ISBN 5-85270-087-8.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI). — ISBN 5-9221-0121-8.
• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
• Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964. — 656 с.
• Михайлов Г. К. Становление гидравлики и гидродинамики в трудах петербургских академиков (XVIII) // Известия Академии наук, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1999. — Вып. 6. — С. 7–25.
• Напор // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 242. — 672 с. — ISBN 5-85270-019-3.
• Поль Р. В. Механика, акустика и учение о теплоте. — Рипол Классик, 2013. — 490 с. — ISBN 5458431251, 9785458431255.
• Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, исправленное и дополненное. — М.: Наука, 1989. — Т. I. Механика. — 576 с. — ISBN 5-02-014054-6.
• Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. — Т. 1. — 224 с.
• Трусделл К. Очерки по истории механики. — М. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3.
• Фабер Т. Е. Гидроаэродинамика / Пер. с англ. под ред. А. А. Павельева. — М.: Постмаркет, 2001. — 560 с. — ISBN 5-901095-04-9.
• Чёрный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с. — ISBN 5-02-013814-2.
• §182. Закон Бернулли // Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Ландсберга. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.
• Darrigol O. Worlds of flow. A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl. — Oxford: Oxford University Press, 2005. — 356 с. — ISBN 978-0-19-856843-8.
• Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l’Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1755 (1757). — Т. 11. — С. 316-361.
• Truesdell, Clifford Ambrose. Rational fluid mechanics, 1687–1765. Editor’s introduction to Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. — Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. — Т. 12. — С. I—CXXV. — (II).

• Русский перевод трактата Даниила Бернулли, в котором впервые появляется интеграл (закон) Бернулли

Словари и энциклопедии

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.

Немного физики: сопротивление воздуха

В действительности сопротивление состоит из двух компонентов: сопротивления тела самолета и его крыльев. Обсудим их раздельно после еще одного небольшого погружения в теорию.

Мы уже обнаруживали, когда высовывали руку из автомобиля или шли против очень сильного ветра, что воздух сопротивляется движению предметов через него. (Он может сделать совсем ужасные вещи с зонтиком).

Сопротивление воздуха зависит от четырех факторов:

1) РАЗМЕР движущегося предмета. Большой объект, очевидно, получит большее сопротивление, чем маленький. Для наших целей используем площадь наибольшего СЕЧЕНИЯ движущегося тела, которое расположено под прямым углом к ветру.

2) ФОРМА движущегося тела. Плоская пластина определенной площади будет оказывать гораздо большее сопротивление ветру, чем обтекаемое тело (форма капли), имеющее ту же площадь сечения для такого же ветра, реально в 25 раз большее! Круглый предмет находится где-то посередине. (Это и есть причина, по которой корпуса всех автомобилей и самолетов имеют по возможности скругленную или каплевидную форму: она уменьшает сопротивление воздуха и позволяет двигаться быстрее при меньших усилиях на двигатель, а значит, при меньших затратах топлива).

Мы измеряем этот фактор, используя Коэффициент Сопротивления. Он берется равным 1,0 для плоской пластины, а затем определяется экспериментально для других форм в аэродинамической трубе. 3) ПЛОТНОСТЬ ВОЗДУХА. Нам уже известно, что один кубический метр весит около 1,3 кг на уровне моря, и, чем выше вы поднимаетесь, тем менее плотным становится воздух. Эта разница может играть некоторую практическую роль при взлете с помощью вашего параплана с Эвереста (что уже имело место), но не должно нас беспокоить в большинстве наших полетов, даже если мы будем парить на высоте 1-2 км над точкой старта.

4) СКОРОСТЬ. Каждый из трех рассмотренных до сих пор факторов дает пропорциональный вклад в воздушное сопротивление: если вы увеличиваете один из них вдвое, сопротивление также удваивается; если вы уменьшаете любой из них в два раза, сопротивление падает наполовину. Например:

Тело с сечением в два квадратных метра будет испытывать в два раза большее сопротивление, чем тело (той же формы, в такой же ветер, при той же плотности воздуха) с сечением только один квадратный метр.

Тело с коэффициентом сопротивления 1,0 будет испытывать вдвое большее сопротивление, чем тело (того же сечения, в такой же ветер) с коэффициентом сопротивления 0,5.

Если тело испытывает определенное сопротивление в потоке воздуха определенной плотности, то же тело в потоке воздуха той же скорости будет испытывать половину этого сопротивления, если плотность воздуха упадет наполовину.

Влияние СКОРОСТИ ВОЗДУХА, однако, совсем иное. Воздушное сопротивление меняется не пропорционально ей, а гораздо сильнее: пропорционально квадрату скорости. (Квадрат числа есть результат умножения его на самое себя, он обозначается маленькой цифрой «2» справа над числом. Поэтому квадрат двойки равен четырем) (22=2×2=4); квадрат тройки равен девяти (32=3×3=9); квадрат четверки равен шестнадцати (42 =4х4=16) и т. д.). Это означает, что, если определенное тело в определенный ветер испытывает сопротивление в 1 кг, эта сила увеличится до 4 кг, если сила ветра удвоится, и до 9 кг, если она утроится. Конечное уравнение утверждает, что:

СОПРОТИВЛЕНИЕ ВОЗДУХА равно ПОЛОВИНЕ ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА, умноженной на КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ, умноженной на ПЛОЩАДЬ СЕЧЕНИЯ и умноженной на КВАДРАТ СКОРОСТИ.

Чтобы это выглядело покомпактнее и понаучнее, введем следующие символы: D

— сопротивление воздуха; р — (произносится «ро») — плотность воздуха; А — площадь сечения; cd — коэффициент сопротивления; V — скорость воздуха. Теперь имеем:

Сила, действующая на тело в потоке воздуха

Обращаясь к рассмотрению сил, действующих на паруса, мы будем отвлекаться от других сил, которые действуют на корпус и подводные плавники. Будем рассматривать парус как неподвижное тело, помещённое в набегающий поток воздуха, независимо от того, чем образован этот поток, ветром или собственным движением судна. Поток воздуха характеризуется скоростью V, которая может меняться от точки к точке при обтекании тела. Как материальная среда, воздух наделён определённой плотностью ρ, которая характеризует массу единицы объёма воздуха (1,25 кг на кубометр). Каждая частица движущегося воздуха обладает кинетической энергией, плотность которой* зависит от скорости воздуха в данной точке и равна

q = ½ ρ V2.

Кинетическая энергия является мерой давления*, которое оказывает поток на поставленную попрёк него преграду. Сила, действующая на парус, образуется за счёт того, что он, притормаживая воздушный поток, отбирает от него часть этой энергии.

Явления, происходящие при обтекании тел водой, ничем существенным не отличаются от явлений обтекания воздухом. Различие состоит лишь в величине плотности ρ, которая у воды в 800 раз выше чем у воздуха., а также в несколько большей вязкости воды. Поэтому при чтении данного раздела следует иметь в виду, что все рассуждения справедливы не только для паруса, но и для частей корпуса, обтекаемых водой, (с поправкой на увеличение сил в 800 раз). Этим обстоятельством мы воспользуемся в дальнейшем, когда при рассмотрении гидродинамики судна будем считать, что общие законы обтекания нам известны из теории паруса.

Рассмотрим сначала, какие силы действуют на тонкую плоскую пластину в потоке воздуха.

Рис. 3.2.

Пластина, поставленная вдоль воздушного потока (рис. 3.2), показывает возникновение силы сопротивления даже при минимальном поперечном сечении тела. Слой воздуха, прилегающий к пластине, затормаживается из-за трения о неподвижную поверхность тем сильнее, чем больше площадь пластины S. Кинетическая энергия заторможенной струи переходит в тепловую энергию трения, а инерция струи передаётся парусу и тянет его в направлении потока с силой

F = C q S = C ½ ρ V2 S

В этой формуле С – так называемый коэффициент аэродинамической силы, который указывает, какая доля энергии потока преобразуется в энергию паруса. Этот коэффициент зависит от формы паруса и других условий обтекания, являясь исчерпывающей характеристикой его полезной работы. Можно сказать, что вся теория паруса сводится к изучению влияния различных факторов на величину С.

Если пластину поставить поперек потока (рис. 3.2 б), то на нее будут воздействовать два механизма, приводящие к возникновению аэродинамической силы. Во-первых, перед пластиной воздушный поток затормаживается из-за того, что пластина препятствует движению потока. В результате энергия движения потока переходит в энергию статического давления, которая приводит к возникновению разности давления Δр по сторонам пластины.

Второй механизм образования силы лобового сопротивления может быть истолкован как потеря кинетической энергии воздушного потока при перетекании его через края пластины. Здесь происходит интенсивное взаимодействие воздуха с препятствием, вихреобразование и торможение.

При косом расположении пластины (рис. 3.2 в), на ней образуется как сила трения Fтр, действующая вдоль поверхности пластины, так и сила разности давлений FN,действующая перпендикулярно пластине (подъёмная сила). Поскольку сила трения много меньше силы разности давления, суммарная сила R также направлена почти перпендикулярно поверхности пластины. Важно то, что сила имеет две составляющие не только X – силу лобового сопротивления, но также Y – так называемую подъемную силу, направленную поперек воздушного потока. Эту силу можно также объяснить как реактивную силу воздушной струи, отклоненной поперек своего первоначального движения. За счет существования этой поперечной силы и возможно использование паруса для движения не только по ветру, но даже и против ветра.

Однако плоская пластина является мало эффективным парусом и развивающаяся на ней подъемная сила сравнительно невелика. Больший эффект получается при использовании плавно изогнутых профилей. Рассмотрим обтекание несимметричного профиля воздушным потоком в канале (трубе) на рис. 3.3.

Рис. 3.3.

Скорость потока в сечениях канала А1Д1 и А4Д4 (до вставленного в канал тела и после него) равны друг другу V1 = V4, (если пренебречь незначительными завихрениями). Но в сечении А3Д3 ширина канала значительно уменьшена. Следовательно для того, чтобы через него проходил тот же поток, необходимо чтобы скорость в равной степени возросла: V3 > V1.. При этом с плоской стороны профиля остается скорость, равная V1, так как поток, входящий в эту часть канала с начальной скоростью V1 в сечении С2Д2, где влияние вставленного тела еще не ощущается, должен сохранить эту скорость и на всем протяжении этой части канала из-за однородности сечения.

Таким образом мы видим, что с выпуклой стороны тела скорость обтекающего потока оказывается больше, чем со стороны плоской поверхности. Это значит, что плотность кинетической энергии потока с выпуклой стороны увеличивается. Согласно закону сохранения энергии это увеличение может происходить только за счёт какой-либо другой энергии. В данном случае в потоке нет другого источника, кроме энергии барометрического давления, которая и переходит в энергию движения потока на выпуклой стороне. Следовательно в том месте профиля, где возрастает кинетическая энергия и скорость потока, там уменьшается барометрическое давление. Оно становится тем меньше, чем больше ускоряется обтекающий поток. Другими словами на выпуклой поверхности возникает разрежение, которое «засасывает в себя» обтекаемый воздухом профиль. Силы этого «засасывания» показаны графически на рисунке. Они действуют перпендикулярно поверхности тела, их сумма Y направлена поперёк набегающему потоку и представляет собой чистую «подъёмную» силу. Эти силы, возникающие в результате несимметричного обтекания, значительно превосходят силы, обусловленные трением. Если учесть на рис. 3.3 также и силу трения Х, то она даст незначительную горизонтальную составляющую по сравнению с подъёмной силой Y.

Обтекание несимметричного профиля для удобства рассуждений было рассмотрено в случае, когда он помещён в достаточно узкий канал, но очевидно, что в свободном пространстве характер обтекания существенно не изменится. Поэтому останутся справедливыми и сделанные выводы.

3.1.2. Подъёмная сила и лобовое сопротивление паруса

Простейшей моделью работы паруса является обтекание плоской пластины, изображённое на рис. 3.2. Однако в результате действия разности давлений по сторонам материала паруса он теряет плоскую форму и образует в сечении плавно изогнутый профиль. Это изменение формы натянутой парусины является полезным эффектом, так как в результате плавного обтекания воздухом образуется меньше завихрений чем на плоской пластине, и подъёмная сила на парусе возрастает за счёт падения давления при обтекании воздухом выпуклой поверхности, как то объяснено в предыдущем параграфе. Чем меньше при этом образуется вихрей, тем на большей части паруса происходит плавное обтекание подветренной выпуклой стороны, и тем бóльшая образуется разность давлений, приводящая к бóльшей подъёмной силе. Что касается силы лобового сопротивления, то она от выдувания плоской поверхности практически не зависит.

Распределение сил трения, давления и разряжения по поверхности реального паруса показано на рис. 3.4.

Рис. 3.4.

Суммарная результирующая аэродинамическая сила на парусе правильной формы имеет бóльшую величину и направлена более перпендикулярно к ветровому потоку, чем аэродинамическая сила на плоской пластине. Отклонение поверхности паруса от плоскости под ветер называется пузом паруса и является одной из важнейших характеристик конструкции паруса, которая влияет на его качество и способность обеспечить надлежащую тягу в нужном направлении.

Главным же образом величина и направление аэродинамических сил на парусе зависит от его положения относительно потока воздуха, которое характеризуется углом атаки α (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5.

Даже при очень малых углах атаки, и при α =0˚, на профиле, имеющем аэродинамическое пузо, как мы видели на рис. 3.3, развивается определённая подъёмная сила, которая тем больше, чем больше величина пуза. Но реальные мягкие паруса на углах атаки около 0˚ не сохраняют аэродинамической формы, а начинают заполаскивать, что приводит к почти полной потере подъёмной силы при сохранении и даже увеличении силы лобового сопротивления (рис. 3.5 а). При увеличении угла атаки до 10˚ — 15˚ подъёмная сила резко увеличивается, в то время как лобовое сопротивление остаётся практически на исходном уровне. В диапазоне углов атаки 20˚ — 30˚ подъёмная сила перестаёт расти, но начинает сильно расти лобовое сопротивление, и результирующая суммарная сила увеличивается. Для некоторых типов парусов суммарная сила принимает наибольшее значение при углах атаки 30˚ — 50˚, но направлена она уже в большей степени не поперёк, а вдоль потока воздуха при снижении подъёмной силы. И наконец, при 50˚ — 90˚ подъёмная сила постепенно исчезает, а лобовое сопротивление слабо возрастает, достигая максимума. Однако общая сила при этом имеет тенденцию к снижению из-за исчезновения подъёмной силы.

Изображать зависимость от угла атаки сил, действующих на парус, удобно на специальном графике, называемом полярой (рис. 3.6).

Рис. 3.6.

На нём каждая точка кривой имеет горизонтальную координату, равную лобовому сопротивлению Х, вертикальную координату, равную подъёмной силе Y, а значение угла атаки нанесено на самой кривой. Для сравнения эффективности парусов различного размера на поляре показывают не абсолютные значения сил (в килограммах), а величины, отнесённые к площади паруса. В качестве таких величин приняты коэффициенты аэродинамических сил, показывающие, какая доля энергии потока, падающего на единицу поверхности паруса, преобразуется в ту или иную составляющую суммарной силы. Различают: коэффициент результирующей силы СR, коэффициент подъёмной силы СY и коэффициент лобового сопротивления СХ. Вспоминая, что плотность кинетической энергии потока равна ½ ρ

V2 , где ρ – плотность воздуха, V – скорость потока, мы можем написать выражения для расчёта абсолютных значений аэродинамических сил:

тяга R = СR ½ ρ V2 S

лобовое сопротивление Х = СХ ½ ρ V2 S

подъемная сила Y = СY ½ ρ V2 S

На рис. 3.6 показаны примеры поляр для различных парусов и самолётного крыла. Из сравнения графиков мы можем сделать следующие выводы:

а) Жёсткое самолётное крыло сохраняет подъёмную силу при малых (меньше 5˚) и даже небольших отрицательных углах атаки, там где мягкий парус работать не может. При этом лобовое сопротивление крыла существенно меньше, чем достижимо для паруса. Следовательно, если бы судно было оборудовано жёстким крылом, то при слишком сильном ветре, когда уже необходимо убирать паруса, жёсткое крыло могло бы быть поставлено в такое положение, что ветер на него не оказывал бы чрезмерного воздействия.

б) При углах атаки вплоть до 20˚ крыло имеет бóльшую подъёмную силу чем парус.

в) Правильно сконструированный парус может обеспечить бóльшую величину аэродинамических сил, чем типичное самолётное крыло равной площади.

г) Наибольшие значения аэродинамических сил паруса достигаются при бóльших значениях угла атаки чем у самолётного крыла.

д) Паруса современных яхт (бермудские) эффективнее, чем классические типы парусов времён парусного флота (плоский гафельный парус).

е) Плоская пластина является наихудшим типом паруса.

Объяснение этих выводов, а также факторы, влияющие на эффективность паруса, рассматриваются в следующем разделе.

Дата добавления: 2016-07-09; просмотров: 4145;